Formas cuadráticas

Una forma cuadrática en R3 es cualquier conjunto de puntos xT=(x1,x2,x3) que satisface una ecuación del tipo:

xTAx=r,     (1)
donde A es una matriz simétrica de 3x3 a coeficientes reales y r es un número real.

Vía una rotación del espacio dada por y=PTx donde yT=(y1,y2,y3) y P es una matriz unitaria de 3x3 a coeficientes reales, se puede expresar una forma cuadrática arbitraria con respecto a un vector y de manera que:

yTDy=r,     (2)
donde D es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales. ¿Porqué siempre pueden encontrarse P y D con las propiedades requeridas? ¿Porqué P representa una rotación del espacio?

Vía un re-escalamiento adicional dado por z=D'y donde zT=(z1,z2,z3) y D' es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales no-negativos, se puede expresar la última ecuación obtenida con respecto el vector z de manera que quede representada por una ecuación del tipo:

zTJz=r,     (3)
donde J es una matriz diagonal de 3x3 que sólo puede contener en su diagonal valores que están en {-1,0,1}. ¿Porqué siempre puede hacerse esta nueva nueva transformación?

A continuación usted podrá:

• Ingresar valores para A y r,
A=
r=
r =.
• Graficar (1) con respecto a los ejes x1,x2,x3,  
• Graficar (2) con respecto a los ejes y1,y2,y3,  
• Graficar (3) con respecto a los ejes z1,z2,z3,  

Para modificar el punto de vista de visualización de los gráficos desplegados ingrese, a continuación, los ángulos de rotación del espacio que desee:
=
= =
= coordesf.jpg


También puede, a continuación, realizar el procedimiento inverso, i.e.,
• Ingresar los parámetros de (3), o sea los valores de J,
J=
r=
r =.
• Graficar (3) con respecto a z.  
• Ingresar un re-escalamiento D' de las coordenadas de z,
D'=
• De (3) obtener (2) y graficarla.  
• Ingresar una transformación unitaria PT de las coordenadas de y,
=
= =
= coordesf.jpg
Reflejar:    eje x,    eje y,    eje z.
• De (2) obtener (1) y graficarla.  
Diseñado por:    Marcos Kiwi.
Implementado por:    José Luis González (Enero del 2002)
Revisado en:    Netscape 7.0 (Julio 2002)

La implementación de esta demo fue finaciada por el Depto. de Ing. Matemática, U. de Chile. La ejecución de esta demo usa un servidor instalado por IDEA+ que permite la ejecución remota de Maple.