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SUMMARY:Graph Theory Seminar: “Empaquetamiento de hiperárboles tight k-uniformes en un hipergrafo aleatorio”
DESCRIPTION:Abstract: El problema de empaquetamiento en grafos aleatorios consiste en encontrar copias arista-disjuntas de una colección de grafos en $G(n,p)$. Ferber y Samotij demostraron que una colección de árboles de grado máximo acotado y tamaño a lo más $(1-\alpha)n$ se empaqueta en $G(n,p)$ con alta probabilidad, bajo condiciones adecuadas sobre $p$ y el  grado máximo. En esta presentación se extiende dicho resultado al contexto de hiperárboles tight $k-$uniformes. Se considera el hipergrafo aleatorio $G^{(k)}(n,p)$, en el cual cada $k-$subconjunto de $[n]$ forma una hiperarista de manera independiente con probabilidad $p$ y se estudia el empaquetamiento de hiperárboles tight $k-$uniformes, esto es, hiperárboles que admiten un orden de sus vértices en el que cada nuevo vértice se incorpora junto con un conjunto padre de $k-1$ vértices ya presentes, contenido en alguna hiperarista previa.\nEl resultado principal establece lo siguiente. Sea  \(k \geqslant 2\) un entero fijo, $\alpha, \varepsilon, p \in (0, 1/2)$ y $n$ un entero positivo que satisfacen $\frac{20k^2 (\log n)^2}{\alpha \varepsilon n} \leqslant p \leqslant \frac{\varepsilon \alpha^{2k+1}}{120k^2}$ y $\Delta \leqslant \min\left\{ \alpha, \frac{\varepsilon}{\log(1/\alpha)} \right\} \cdot \frac{\varepsilon n p}{20k^2 \log n}$.Sean $T_1, \dots, T_N$, con $N \leqslant (1-\varepsilon)p\binom{n}{k}/n$, una colección de hiperárboles tight $k$-uniformes. Se asume que cada $T_i$ tiene a lo más $(1-\alpha)n$ vértices y que su co-grado máximo es a lo más $\Delta$. Entonces, con alta probabilidad, los hiperárboles $T_1, \dots, T_N$ se empaquetan en $G_{n,p}^{(k)}$.\nSpeaker: Gisela Abarca (DIM U. Chile)\n
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