Tasas de difusión, espectro de Lyapunov y el modelo de wind-tree.

RESUMEN El modelo de wind-tree consiste en una familia de billares infinitos periódicos para los cuales se han exhibido tasas de difusión anormales. Más precisamente, Delecroix—Hubert—Lelièvre (2014) mostraron que en estos billares la tasa de difusión polinomial es 2/3 en casi toda dirección, es decir, que el diámetro de una trayectoria genérica después de un tiempo T es aproximadamente T^(2/3). En contraste con el exponente 1/2 del comportamiento tipo Teorema del Límite Central, como en el movimiento browniano o en paseos aleatorios clásicos. En el caso del modelo de wind-tree, el número 2/3 corresponde a un exponente de Lyapunov en un espacio de módulos que parametriza objetos más generales que estos billares.

En esta charla veremos que para ciertos modelos de wind-tree cualquier número real en el intervalo [0, 1] corresponde a una tasa de difusión. Para esto discutiremos ciertas propiedades geométricas del espectro de Lyapunov de cociclos que se obtienen como suspensión del producto de dos representaciones de un grupo fuchsiano. Y, como aplicación, mostramos una familia de billares de wind-tree para los cuales el espectro de Lyapunov asociado es lo más grande posible: todo el cuadrado [0,1]x[0,1]. Hasta donde sabemos, esta sería la primera descripción completa donde el espectro de Lyapunov se conoce explícitamente en la dimensión dos.

Posted on May 18, 2023 in Dynamical Systems, Seminars